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\author{Le dernier matou}
\date{}
\title{Test d'accélération et de freinage d'une voiture de Slot}

\begin{document}

\maketitle

Pour tous les calculs, on suppose l'accélération constante.

\section{Accélération}

Le calcul de la vitesse moyenne lors de la phase d'accélération s'obtient grâce à la formule :
$$V_{moyenne} = \frac{\textrm{distance (m)}}{\textrm{durée (s)}}
= \frac{\textrm{distance (cm)} \div 100}{\textrm{durée (ms)} \div 1000}
= 10 \times \frac{\textrm{distance (cm)}}{\textrm{durée (ms)}}$$

Le calcul de l'accélération lors de la phase d'accélération s'obtient grâce à la formule :

$$a = \frac{\textrm{distance (m)}}{(\textrm{durée (s)})^2}
= \frac{\textrm{distance (cm)} \div 100}{(\textrm{durée (ms)} \div 1000)^2}
= 10~000 \times \frac{\textrm{distance (cm)}}{(\textrm{durée (ms)})^2}$$

\section{Vitesse maximale}

Le calcul de la vitesse maximale s'obtient grâce à la formule :
$$V_{maximale} = \frac{\textrm{distance (m)}}{\textrm{durée (s)}}
= \frac{\textrm{distance (cm)} \div 100}{\textrm{durée (ms)} \div 1000}
= 10 \times \frac{\textrm{distance (cm)}}{\textrm{durée (ms)}}$$

\newpage

\section{Freinage}

Les hypothèses sont :
\begin{itemize}
    \item L'accélération $a$ est supposé constante.
    \item La vitesse à $t_0$ est égale à $V_{max}$ et à $t_1$ elle est nulle.
    \item Le déplacement à $t_0$ est nul et égal à $d$ à $t_1$.
    \item $t_0=0$ et $t_1$ est le moment où la voiture s'arrête.
\end{itemize}
\noindent
On intègre l'accélération pour obtenir la vitesse :
$$v(t)=at+cte$$
La constante est égale à $V_{max}$ car c'est la vitesse à $t_0$.
$$v(t)=at+V_{max}$$
On en déduit $t_1$ :
$$t_1=-\frac{V_{max}}{a}$$
On intègre la vitesse pour obtenir le déplacement :
$$x(t) = at^2+V_{max}t+cte$$
La constante est nulle car $x(t_0)=0$.

Sachant que $x(t_1)=d$ et que $t_1=-\frac{V_{max}}{a}$, on obtient :
$$x(t_1)=d=a\left(\frac{V_{max}}{a}\right)^2+V_{max} \times \frac{V_{max}}{a}$$
$$d=2 \times \frac{V_{max}^2}{a}$$
L'accélération est donc égale à :
$$a=2 \times \frac{V_{max}^2}{d}$$
Comme $d$ est en cm et non en m :
$$a=200 \times \frac{V_{max}^2}{d}$$

\end{document}
